选举功能障碍:为什么民主总是不公平

物理 2010年4月28日
人们发布了他们的选票

Peter Muhly / AFP / Getty Images

在理想的世界中,选举应该是两件事:自由和公平。每个成年人都有几个明智的例外,应该能够投票给他们选择的候选人,每个投票都应该是值得的。

确保免费投票是法律的问题。大选博览会是数学家的问题。他们一直在研究百年的投票系统,寻找偏差的偏差来源,以扭曲个人投票的价值,以及避免它们的方法。一路上,他们已经造成了许多悖论和惊喜。他们没有做的是答案。充分理由:它可能不存在。

世界各地使用的许多民主选举制度试图在数学上的公平与政治考虑(如问责制和对强大、稳定政府的需要)之间取得平衡。以美国、加拿大、印度和英国在下周举行的全国选举中使用的得票最多或“多数”票为例。其原则很简单:每个选区选出一名代表,即得票最多的候选人。

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这个系统在稳定性和问责性方面得分很高,但是在数学公平方面,它是一个哑巴。除了获胜候选人以外的任何人都被忽略了。如果两个以上的缔约方具有实质性支持的竞争选区,就像在加拿大,印度和英国的典型,候选人不必让任何像投票中的50%的胜利,所以大多数选票是“迷失”。

将国家或城市分成一口大小的大小选举本身就是一个发布的业务(参见“边境案例”,下面的“,也邀请其他扭曲。一方可以直接赢得大多数选举部门的竞争对手。在2005年英国大选中,执政劳工党占总票数的35%的席位。如果候选人或一方略微前进,只有在其他人身后的长途落后,即使一个竞争对手在美国总统选举的最令人惊奇的情况下,他们也可以赢得更多的投票,这当乔治W·布什勉强击败了Al Gore。

非典型病例

在简单多数制或“多数”制中,边界很重要。为了确保每张选票的权重大致相同,每个选区的选民数量应该大致相同。以确保公平为借口在人口中心之间穿越边界,也是为了自己的利益而作弊的好方法——这种做法被称为格里曼德里以19世纪马萨诸塞州州长埃尔布里奇·格里(Elbridge Gerry)的名字命名,格里创建了一个选举部门谁的形状提醒了一个蝾螈的当地报纸编辑。

假设一个由自由民主共和党(LR)党控制的城市有900,000的投票人口分为三个选区。民意调查显示,在下次选举中,LR正在击败 - 40万人打算投票,但其他50万人将选择民主保守派(直流)党。如果边界是保持比例相同,则每个选区都包含大约130,000个LR选民和170,000个DC选民,并且DC将采用所有三个座位 - 多种投票系统的通常不应。

实际上,选民倾向于投票给一方或另一方的投票可能会在城市的同一个社区中聚集在一起,所以LR可能会留下一个座位。然而,对于LR来重写界限来扭转结果并保护自己大多数 - 随着这两种分裂策略展示来说,这可能是全部的。

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然而,多种投票系统的异常可能更加微妙,作为数学家唐纳德萨里加州大学欧文分校的研究人员表示。假设15个人被要求对他们喜欢的牛奶(M)、啤酒(B)或葡萄酒(W)进行排序。6个人将他们的喜好分为M-W-B、5个B-W-M和4个W-B-M。在一个只考虑优先选择的多数制体系中,结果很简单:牛奶以40%的选票胜出,啤酒紧随其后,葡萄酒紧随其后。

选民是否真正喜欢牛奶?不是一点。九名选民更喜欢啤酒到牛奶,九个更喜欢牛奶 - 在两种情况下都有多种。与此同时,10人更喜欢喝啤酒。通过配对所有这些偏好,我们看到真正优选的顺序为W-B-M - 所产生的投票系统的确切反转。事实上,Saari表明,给定了一套选民首选项,您可以设计一个产生您想要的结果的系统。

在上面的例子中,简单的多数票投票产生了一个异常的结果,因为喝酒的人团结在一起:葡萄酒和啤酒的饮用者都提名对方作为他们的第二选择,并且对牛奶表示强烈反对。类似的事情也发生在政治中,当两个政党吸引相同类型的选民时,将他们的选票分散给他们,而让一个不受欢迎但占多数的第三政党赢得选举。

我们可以避免这种不公平的同时保持第一款邮政系统的优势吗?只是在某种程度上。一种可能性是两个排名第一的候选人之间的第二个“跑步”选举,就像在法国和其他地方的许多总统选举中一样。但是,没有保证两种候选人,潜在的潜在支持甚至会使跑步。例如,在2002年法国总统选举中,这么多左翼候选人在第一轮中站立,所有这些都被淘汰了,只剩下两位右翼候选人雅克·希拉克和让-玛丽·勒庞角逐第二轮选举

订单,订单

另一种策略允许选民按优先顺序将候选人放置,1,2,3等。算上首选投票后,消除了最低分数的候选人,并将投票重新分类到那些投票论文的下一选择候选人。这一过程持续到一名候选人的支持超过50%的选民。该系统称为即时违约或替代或优惠投票,用于选举到澳大利亚代表,以及在几个美国城市。它也已为英国建议

优惠投票更接近公交比多项投票,但它不会消除有序悖论。这孔多塞侯爵是法国数学家,早在1785年就指出这一点。假设我们有三个候选人,A,B和C,以及将它们排列的三名选民,B-C,B-C-A和C-A-B。选民喜欢2至1.但是B优选为C和C优选在2至1的相同边缘。引用渡渡鸟爱丽丝漫游仙境:“每个人都赢了,一切都必须有奖品。”

一种类型的投票系统完全避免了这种循环悖论:比例表示。在这里,一方颁发了一些议会席位,直接与投票的人数直接比例。这种系统无疑是在数学意义上的比喻或优先投票,但它具有政治缺点。它意味着大,多代表性选区;真正比例表示的最佳镜头仅具有一个选区,在以色列中使用的系统。但大型选区削弱了选民与其代表之间的联系。候选人通常是从集中确定的清单中选择的,因此选民几乎没有控制谁代表它们。更重要的是,比例系统倾向于产生两方或更多缔约方的联盟,可能导致不稳定和无效的政府 - 尽管多种系统也不会对这些问题免疫(参见“余额中的电力”)

社论:在手臂上射击民主

比例代表制在数学上有自己的缺陷。例如,没有办法按照确切的比例将全部席位分配给更大的人口。这可能导致一种奇怪的情况,即增加可获得的议席总数会减少某一选区的代表人数,即使其人口保持不变(见“比例悖论”)

这种不完美导致美国经济学家肯尼斯•阿罗(Kenneth Arrow)在1963年列出了理想化的公平投票制度的一般属性。他建议选民应该能够表达自己的一套完整的偏好;不应允许任何一个选民来决定选举的结果;如果每个选民都喜欢其中一名候选人,那么最终排名应该反映这一点;如果一名选民更喜欢一名候选人而不是第二名,那么引进第三名候选人不应改变这种偏好。

都非常明智。只有一个问题:箭头和其他人继续证明这一点没有一种可以想象的投票系统能够同时满足这四个条件。特别是,一名选民总会有可能只需改变投票,可以改变整个选民的整体偏好。

因此,我们只能尽力而为。一些不太公平的制度产生的政府有足够的权力去做实际的事情,尽管大多数选民可能不赞成;一些更公平的制度将权力分散得如此之薄,以至于任何建立政府的尝试都沦为党派内斗。处理数字可以有所帮助,但决定哪一个是两害相权取其轻最终不是数学的问题,而是人类的判断。

比例悖论

虽然选举美国众议院的代表使用初前的票据制度,但宪法要求席位“根据各自的数字在几个国家分摊”- 即按比例分开。1880年,美国人口普查局Charles Seaton的首席职员发现,阿拉巴马州将在一个299座座位中获得八个席位,但只有七个在一个300座位的房子里。

这种“阿拉巴马园悖论”是由称为最大剩余方法的算法引起的,该方法用于围绕座位的数量,该座位将在严格的比例下接收到整个数量。

假设简单起见,有3900万选民的国家有四个席位的议会 - 每位座位提供975万名选民的配额。然而,席位必须在三个州,阿拉巴斯加,博尔戈拉多州和卡罗沙,分别为21,13和500万投票。将这些数字除以配额给出每个州的席位的公平比例。向下舍入到整数,这个座位数量给予各国。任何座位留下来转到州或最高余额的州或州。查看结果

舍进的整数分配三个座位。第四次进入Carofornia,剩余最大的国家。

假设现在座位的数量从4个增加到5个。配额是3900万除以5,也就是780万,所以我们的表格是这样的:

舍进的整数占以前的三个席位。这两个备用转到alabaska和bolorado,拥有两个最大的剩余者,并且卡索诺里亚失去了唯一的席位。(美国宪法规定,每个州必须至少有一个代表,这将保护Carofornia在这种情况下 - 房屋的规模必须由一个座位增加。)

导致阿拉巴马悖论的精确条件是数学上复杂的。对于三个州,可以以图形方式描绘,如图所示。左侧图显示了在四个席位的情况下为三个国家的全国总数的人口(作为国家的总额)和公平比例;右侧叠加了五个座位的图。Alabama Paradox发生在阴影人口组合中:我们的榜样位于最左边的橙色阴影区域。

此类奇迹意味着比例系统中的座位通常使用已知为的算法分配除数方法。这些通过将投票群体除以共同的因素,以便在公平的比例舍入到整个数字中,他们加入可用座位的数量。但这种方法不是万无一失:它有时会给选区比最接近其公平比例的整数更多座位。

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平衡中的权力

对比例投票系统的一批批评是,他们不太可能一方赢得了大部分可用的席位,从而增加了较小缔约方的力量作为“王制造者”,他们可以在他们认为竞争对手之间摆动竞争对手之间的平衡。如果选举算术提供挂议会,则在多个系统中发生同样的情况,其中没有一方具有整体多数 - 截至在下周大选之后可能会发生。

电力在哪里存在于这种情况下?量化这个问题的一种方法是Banzhaf权力指数。首先,列出可以形成多数联盟的各方组合,并且在所有联盟中都有多少次派对是一个“摇摆”的伙伴,如果它辍学,可能会摧毁多数。将此数字除以所有可能的多数联盟中的摆动伙伴总数给予党的权力指数。

例如,假设议会有6个席位,其中a党有3个,B党有2个,C党有1个。有三种方式可以组成至少四票多数的联盟:AB、AC和ABC。在前两个实例中,两个伙伴都是摇摆伙伴。在第三个例子中,只有A是——如果B或C有一个退出,剩下的联盟仍将拥有多数。三个联盟共有五个摇摆伙伴,A出现三次,B和C各出现一次。因此,A的权力指数为3 ÷ 5,即0.6或60%——高于它拥有的50%席位——而B和C各自“价值”仅为20%。

在一个现实的情况下,计算更有涉及。该图显示了在没有多数中的电力偏移量假设议会有650个席位其中有五个投票集团。

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英国下一任首相

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保守派290.

工党247

自由民主党70

他们是对的吗?他们在5月15日出版的《科学》杂志上解释了他们的方法及其成败beplay手机客户端下载